Ruang Vektor

NAMA    : CYNTHIA MAHARANI

NIM        : 2022-31-046

KELAS   : A

A. Ruang-n Eclides

    Euclides, sebagai seseorang yang pertama kali mempelajari mengenai vektor-vektor di Rⁿ sehingga metode ini diikenal sebagai ruang n-Euclides. Misalkan u, v, w adalah unsur pada ruang V d an k, l merupakan unsur bilangan Rill maka agar V dinamkan sebagi ruang vektor haruslah memenuhi sepuluh syarat sebagai berikut :

B. Basis dan Dimensi

    Basis dan dimensi adalah dua materi ruang vektor yang memiliki kaitan erat. Basis ruang vektor adalah himpunan bebas linear yang merentang ruang vektor  tersebut. Ruang vektor V disebut berdimensi hingga jika terdapat himpunan berhingga dari vektor-vektor dalam V yang merentang ruang vektor tersebut. Banyak vektor pada basis ruang vektor disebut dimensi dari ruang vektor. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

1. S bebas linier
2. S serentang V.

    Sebagai contoh R²,  adalah ruang vektor berdimensi hingga, karena terdapat himpunan {(1,0),(0,1)} yang merentang R² . Himpunan polinomial berderajat n atau kurang juga berdimensi hingga, karena ruang vektor ini direntang oleh himpunan berhingga {1, x,....xn}.

    Berdasarkan definisi, sebuah himpunan harus bebas linear dan merentang ruang vektor untuk menjadi basis. Jika yang dipenuhi hanya salah satunya, misalnya bebas linear saja, maka himpunan tersebut bukan basis dari ruang vektor.

    Contoh 1 :

Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ).

• S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn.
• Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis.
•  Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.

Contoh 2

Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4).

Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.

Pemecahan:

• Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
• b = k1v1 + k2v2 + k3v3 dari vector – vector pada S. 
• Dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan
• ( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 ) atau ( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )

atau

k1 + 2k2 + 3k3 = b1 2k1 + 9k2 + 3k3 = b2 k1 + 4k3 = b3 

• Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ).
• Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 (1.2) adalah k1 = k2 = k3 = 0
• seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya
• maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut homogenk1 + 2k2 + 3k3 = 0 2k1 + 9k2 + 3k3 = 0 k1 + 4k3 = 0 (1.3)

C. Sub Ruang vektor

    Dalam membicarakan ruang vektor, tidak hanya vektoer-vektornya saja yang menarik, tetapi juga himpunan bagian dari ruang vektor tersebut yang membentuk ruang vektor lagi terhadap operasi yang sama pada ruang vektornya. Himpunan yang demikian yang selanjutnya disebut sebagai sub ruang vektor ( vector subspace ). Andaikan V adalah ruang vektor dan S adalah himpunan bagian tak kosong dari V . Himpunan S disebut sub ruang vektor dari V jika terhadap operasi yang didefinisikan pada V , S membentuk ruang vektor.

\Ada beberapa aksioma yang tidak diturunkan dari V, misalnya sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan. Karena W merupakan subset dari himpunan V, maka untuk setiap 

$\vec{u},\vec{v}\in W$ tentu berlaku $\vec{u}+\vec{v}\in V$. Tapi tidak ada jaminan bahwa $\vec{u}+\vec{v}\in W$ karena mungkin saja terdapat $\vec{u},\vec{v}\in W$ yang jumlahnya merupakan anggota V tetapi bukan merupakan anggota W.

Ada empat aksioma yang tidak diturunkan dari ruang vektor V, yaitu

1. Aksioma 1 (Tertutup terhadap operasi penjumlahan)
2. Aksioma 4 (Keberadaan vektor $\vec{0}$ di himpunan W)
3. Aksioma 5 (Keberadaan vektor $-\vec{u}$ di himpunan W)
4. Aksioma 6 (Tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar)

CONTOH 1

Tunjukkan bahwa himpunan vektor dalam bentuk $(b_1,b_2,b_3)$ dengan $b_1=b_2$ merupakan subruang dari ${\mathbb{R}}^3$.

Pembahasan

Misalkan himpunan tersebut adalah A.Pertama, kita tunjukkan bahwa himpunan A tidak kosong.Terdapat $(0,0,0)\in A$, sehingga himpunan A tidak kosong.

Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.Ambil sebarang $\vec{u},\vec{v}\in A$ dan $k\in \mathbb{R}$. Tulis

$\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ untuk suatu $u_1,u_2,u_3\in \mathbb{R}$ dengan $u_1=u_2$.
dan
$\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ untuk suatu $v_1,v_2,v_3\in \mathbb{R}$ dengan $v_1=v_2$.

Perhatikan bahwa$$\begin{array}{rl}\vec{u}+\vec{v}& =(u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3)\\ & =(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)\end{array}$$Diketahui $u_1=u_2$ dan $v_1=v_2$, sehingga $u_1+v_1=u_2+v_2$.Diperoleh $\vec{u}+\vec{v}\in A$.Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Selanjutnya, perhatikan bahwa$$\begin{array}{rl}k\vec{u}& =k(u_1,u_2,u_3)\\ & =(k{u}_1,k{u}_2,k{u}_3)\end{array}$$Karena $k{u}_1=k{u}_2$, maka diperoleh $k\vec{u}\in A$.Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar.

Jadi, himpunan A merupakan subruang dari ${\mathbb{R}}^3$.