Kombinasi Linear, Bebasl Linear dan Bergantung Linear

1. Periksa apakah x = (7, 8, 9) merupakan kombinasi linear serta bebas linerar dari vektor vektor u1 = (2, 1, 3), u2= (1, -1, 2), u3=(4, 3, 5) di Rз serta  tentukan basis dan dimensidar vektor tersebut.

Jawab : 

Dengan rumus :  K1U1 + K2U2 + K3U3  = x akan d buktikan bahwa matriks terseut merupakan kombinasi linear dimana semua vektor u1, u2, u3 harus dibtranspose erlebih dahulu lalu din jumlahkan semua veltornya sehinggadi peroleh :

setelahn itu keluarkan variabel dari dalam matriks sehinggadapat dperoleh :

mencari matriks eselon tereduksi untuk membuktikan bawa fariabel U1, 2, dan u3 merupakan kombinasi linear dari x dengan menggunakan metode Gauss jordan :

(mencari satu utama pada kolom 1 dengan mengalikan baris pertama dengan 1/2)

(membuat nol 2 baris di bawa 1 utama pada kolom pertama dengan rumus di atas)

(selanjutnya membuat satu utama pada kolom dua baris dua)

(membuat nol pada elemen di atas dan di bawah satu utama pada kolom 2)

(selanjutnya membuat satu utama pada kolom 3)

(membuat nol pada dua baris di atas satu utama)

setela mendapatkan matriks eselon tereduksi dapat dilihat bahwa nilai dari  K1 = 0, K2= -2 dan K3= 3 dan ketiganya merupakan kombinasi linear. 

Untuk membuktkannya maka dimasukan nilai K1, K2, dan k3 sesuai rumus ke dalam matriks u1, u2, u3.

Dengan rumus  K1U1 + K2U2 + K3U3  = 0 akan dibuktikan bahwa vektor u1 u2 u3 merupakan bebas linear. Dapat diliat dari matriks eselon tereduksi yang sudah 

dengan itu matriks dapat dikatakan bebas linear 

Selanjutnya untuk menentuka Dimensi dari skalar x dapat diliat dari soal dimana pada soal dibuat kombinasi dan kebebasan linear di Ruang 3 dengan vektor vektor yang juga terbagi menjadi 3 yaitu u1, u2, dan u3 sehingga matrks tersebut merupaan basis di  Rз

Dan yang terakhir yaitu Dimensi dapat dilihat dari semua pengoperasian tadi dimana syarat Basis adalah Bebas Linear serta vektor  u emembangun x