Nilai Eigen dan Vaktor Eigen

Nama  : Cynthia Maharani

NIM    : 2022-31-046

Kelas   :  A

1. NILAI EIGEN

    Jika 𝐴 adalah sebuah matriks 𝑛 × 𝑛, maka sebuah vektor taknol 𝒙 pada ℝ𝑛 disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari 𝐴 jika 𝐴𝒙 adalah sebuah kelipatan skalar dari 𝒙; jelasnya: 𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 untuk skalar sebarang 𝜆. Skalar 𝜆 ini disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari 𝐴, dan 𝑥 disebut sebagai vektor eigen (vektor karakteristik) dari 𝐴 yang terkait dengan 𝜆.

    Untuk mendapatkan nilai eigen dari sebuah matriks, dapat diperoleh dengan rumus :

𝐴𝒙 = 𝜆𝐼𝒙 

𝐴𝒙 − 𝜆𝐼𝒙 = 𝟎 

𝐴 − 𝜆𝐼 𝒙 = 𝟎 

    Jika A matriks segitiga n n dan λ adalah bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen

1. λ adalah nilai eigen dari matriks A
2. Sistem persamaan (λIA) x = 0 memiliki solusi tak trivial
3. Terdapat vektor taknol x 2 R n sehingga Ax = λx
4. λ adalah solusi dari persamaan karakteristik det(λIA) = 0
5. Vektor-vektor eigen matriks A yang terkait dengan sebuah nilai eigen λ adalah vektor-vektor taknol x yang memenuhi persamaan Ax = λx.
6. Dengan kata lain, Vektor-vektor eigen yang terkait dengan λ adalah vektor-vektor taknol dalam ruang solusi 

CONTOH SOAL 1 :

Diketahui matriks A sebagai berikut :

Langkah pertama ialah masukan lamda yang dikalikan dengan matriks identittas  lalu di kurangi dengan matrik  A setelah itu di cari determinan dari matriksnya dimana proses tersebut yang disebut dengan polinomial dari suatu matriks.

Selanjutnya menyamakan karakteristik dari matriks tersebut. Lalu disamakan nilai atau tanda dari persamaan tersebut dengan mengalikan dengan mines sehingga mines tersebut merubah tanda dari bilangan bilangan lainnya.

Persamaan karakteristik dapat difaktorkan dengan berbagai cara seperti horner, faktorisasi dan banyak lagi. Kali ini kita menggunakakn metode faktorisasi sehingga didapatkan nilai eigennya sebagi berikut:

Setelah itu, subtitusikan nilei eigen kedalam matriks persamaan A-λI = 0 maka akan diperoleh persamaan  baru yaitu :

Langkah terakhir ialah mencari nilai vaktor eigien dari persamaan di atas dengan menggunakan metode OBE atau metode lainnya sehingga di peroleh nili dari vaktor eigien mtriks ditas adalah :

Itulah proses mencari nilai dan vaktor eigien. Untuk penjelasan lebih lengkap boleh lihat penjelasan di