BARIS ORTONORMAL DAN GRAM-AMICHTD

 BARIS ORTONORMAL

    Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan himpunan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut saling ortogonal, dan sebuah himpunan ortogonal yang normnya 1 (satu) dinamakan himpunan ortonormal.

    Misalkan 𝑆 = {𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … 𝑠𝑛} merupakan basis dari suatu ruang hasil kali dalam 𝑉 dan merupakan himpunan ortonormal, maka 𝑆 disebut Basis Ortonormal. Dalam Modul 5 ini kita akan membahas jika 𝑆 merupakan basis dari suatu ruang hasil kali dalam 𝑉 dan bukan himpunan ortonormal, maka 𝑆 dapat ditransformasi menjadi Basis Ortonormal.

    Sebelum basis dari ruang hasil kali dalam diubah menjadi Basis Ortonormal, basis 𝑆 tersebut terlebih dahulu diubah menjadi Basis Ortogonal dengan menggunakan sebuah proses yang dinamakan proses Gramm-Schmidt. Selanjutnya Basis Ortogonal tersebut dinormalisasi untuk mendapatkan Basis Ortonornalnya

    Setelah mempelajari Modul 5 ini diharapkan mahasiswa dapat mentrasformasikan sebuah basis menjadi basis ortogonal dan juga mampu mentransformasikan basis yang bukan ortonormal menjadi basis ortonormal.

PROSES GRAMM-SCHMIDT

    Berikut definisi dan teorema yang berhubungan dengan basis ortogonal dan basis ortonormal.

    Diberikan ruang vektor 𝑉. Diambil vektor 𝑢, 𝑣𝜖𝑉. Vektor 𝑢 dikatakan ortogonal (orthogonal) terhadap 𝑣 jika 〈𝑢, 𝑣〉 = 0. Dinotasikan dengan 𝑢 ⊥ 𝑣.

    Jelas bahwa 𝑢 ⊥ 𝑣 jika dan hanya jika 𝑣 ⊥ 𝑢. Lebih lanjut, jika 𝑢 ortogonal terhadap setiap vektor di suatu himpunan 𝑆, maka dikatakan 𝑢 ortogonal terhadap 𝑆. Vektor 𝟎 ortogonal terhadap setiap vektor dan merupakan satu-satunya vektor yang tegak lurus dengan dirinya sendiri.

1. Suatu himpunan 𝑉 dikatakan ortogonal dengan himpunan 𝑊, dinotasikan dengan 𝑉 ⊥ 𝑊 jika ∀𝑣𝜖𝑉dan 𝑤𝜖𝑊 berlaku 𝑣 ⊥ 𝑤.
2.  Suatu himpunan bagian 𝑉dari suatu ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika ∀𝑣, 𝑤𝜖𝑉 dan 𝑣 ≠ 𝑤 maka 〈𝑣, 𝑤〉 = 0.

Contoh sosal

1. Diberikan ruang vektor ℝ3 dengan hasil kali dalam 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑢1𝑣1 + 2𝑢2𝑣2 + 3𝑢3𝑣3. Gunakan proses Gramm-Schmidt untuk mengubah

{𝑢1, 𝑢2, 𝑢3} dengan menjadi basis 1 0 0 ortonormal.

Gunakan proses Gramm-Schmidt untuk membentuk basis ortogonal untuk