Basis ruang baris, basis ruang kolom dan basis ruang null

BASIS RUANG BARIS

Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika A berisi suatu himpunan vektor terhingga {a1,a2,…an} yang membentuk suatu basis. Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka A disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga

BASIS RUANG KOLOM

Jika A adalah matriks mxn maka subruang yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A.

RANK DAN NULLITAS

     Rank matriks dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu matriks itu singular atau nonsingular.Jika A matriks bujur sangkar. Rank di peroleh dari seberapa banyak, kolom pada matriks eselon tereduksi yang memiliki satu utama.

     Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen adalah subruang dari disebut ruang null/ruang kosong dari A dinotasikan N(A). Nullitas atau ruang solusi diperoleh dengan mengurankan jumlah baris dengan banyak rank yang diperoleh

Perhatikan Contoh Berikut :

Diberikan sebuah persamaan sebagai berikut :

X1 + X2 - 2X3  + 2X5 = 0

2X1 + 6X2 - 3X3 - 2X4 + 4X5 - 3X6   = -1

5X3 + 10X4 + 15X6  = 5

2X1 + 6X2  + 8X4 + 4X5 + 18X6  = 6

tentukan rank dan nulitas dari persamaan tersebut !

jawab :

*Mencari rank dan nulitas menggunakan Basis ruang baris:

Bauatlah persamaan yang ada kedalam bentuk matriks :

Mencari mtatriks eselon tereduksi mengguknakan metode Gauss-Jordan\

(karena pada soal sudha terdapat zatu utama pada baris pertama, selanjutnya di cari nol pada baris ke dua dan empat)

(Dari pengoperasian sebelumnya didapatkan satu utama ada baris dua, sehingga selanjutnya mencari nol pada baris satu, tiga dan 4)

(Menukarkan baris tiga dan empat karena baris dengan seluruh elemennya nol harus di tempatkan paling bawah)

(selanjutnya mrmbuat satu utama bada bari ke tiga )

(setelah itu membuat nol oada baris satu dan baris dua)

(dan didapatkan matriks eselon tereduksi dari persamaan awal)

Dari matriks eselon tereduksi kita dapat mengambil kesimpulan dimana :

baris 1 :

X1 + 3X2 + 4X4 + 2X5 =0

X1 = -3X2 - 4X4 - 2X5

dimana kita misalkan X2 = s, X4 = t dan X5 = u. Sehingga :

X1 = -3s - 4t - 2u

baris 2 :

X3 + 2X4 = 0

X3 = -2X4

X3 = -2t

baris 3 :

X6 = 1/3

sehinggadibuat matriks baru dimana :

 

Lalu keluarkan farabel sehingga di peroleh Basis ruang solusi sebagai berikut :

dimana dapat disimpuklkan bahwa :

1.) Terdapat 1 matrik ruang solusi khusus

2.) Terdapat 3 matrik ruang solusi

3.) Rank = Banyak ruang solusi = 3

4.) Nulitas = banyak kolom - rank  = 6 - 3 = 3