Aljabar linear

 BARIS ORTONORMAL      Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan himpunan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut saling ortogonal, dan sebuah himpunan ortogonal yang normnya 1 (satu) dinamakan himpunan ortonormal.      Misalkan 𝑆 = {𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … 𝑠𝑛} merupakan basis dari suatu ruang hasil kali dalam 𝑉 dan merupakan himpunan ortonormal, maka 𝑆 disebut Basis Ortonormal. Dalam Modul 5 ini kita akan membahas jika 𝑆 merupakan basis dari suatu ruang hasil kali dalam 𝑉 dan bukan himpunan ortonormal, maka 𝑆 dapat ditransformasi menjadi Basis Ortonormal.      Sebelum basis dari ruang hasil kali dalam diubah menjadi Basis Ortonormal, basis 𝑆 tersebut terlebih dahulu diubah menjadi Basis Ortogonal dengan menggunakan sebuah proses yang dinamakan proses Gramm-Schmidt. Selanjutnya Basis Ortogonal tersebut dinormalisasi untuk mendapatkan Basis Ortonornalnya     Setelah mempelajari Modul 5 ini diharapkan mahasiswa dapat mentrasfo

 TRANSFORMASI LINEAR          Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah suatu fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka dikatakan F memetakan V di dalam W, dan ditulis F: V ∈ W. Jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka dituliskan w: F(v) dan dikatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. Ruang vektor V dinamakan domain F.  Untuk melukiskannya, jika v = (x, y) adalah suatu vektor di R2, maka rumus : F(v) = (x, x + y, y - x)          Mendefinisikan suatu fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3.  Khususnya : Jika v = (1, 1) x = 1, y = 1 sehingga bayangan dari V di bawah F adalah : F(v) = (1, 2, 0). Dengan demikian, domain F adalah R2.. Jika F: V ∈ W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linear (linear transformation) jika i) F(u + v) = F(u) + F(v)untuk semua vektor u dan v di V. ii) F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua

 METODE CHIO        Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks   biasanya dinyatakan oleh   atau  .       Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode sarrus, ekspanasi kofakor dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo   dengan  .      Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo   menjadi ordo   dan dikalikan dengan elemen  . Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo  .  Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen  . Apabila nilai elemen    maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh  . Perhatikan untuk matrik dengan ordo   . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut. untuk metod chio yang be

BASIS RUANG BARIS Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika A berisi suatu himpunan vektor terhingga {a1,a2,…an} yang membentuk suatu basis. Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka A disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga BASIS RUANG KOLOM Jika A adalah matriks mxn maka subruang yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. RANK DAN NULLITAS      Rank matriks dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu matriks itu singular atau nonsingular. Jika A matriks bujur sangkar.  Rank di peroleh dari seberapa banyak, kolom pada matriks eselon tereduksi yang memiliki satu utama.      Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen adalah subruang dari disebut ruang null/ruang kosong dari A dinotasikan N(A).  Nullitas atau ruang solusi diperoleh dengan mengurankan jumlah baris dengan banyak rank yang diperoleh Perhatikan C

Periksa apakah x = (7, 8, 9) merupakan kombinasi linear serta bebas linerar dari vektor vektor u1 = (2, 1, 3), u2= (1, -1, 2), u3=(4, 3, 5) di Rз serta  tentukan basis dan dimensidar vektor tersebut. Jawab :  Dengan rumus :   K1U1 + K2U2 + K3U3  = x akan d buktikan bahwa matriks terseut merupakan kombinasi linear dimana semua vektor u1, u2, u3 harus dibtranspose erlebih dahulu lalu din jumlahkan semua veltornya sehinggadi peroleh : setelahn itu keluarkan variabel dari dalam matriks sehinggadapat dperoleh : mencari matriks eselon tereduksi untuk membuktikan bawa fariabel U1, 2, dan u3 merupakan kombinasi linear dari x dengan menggunakan metode Gauss jordan : (mencari satu utama pada kolom 1 dengan mengalikan baris pertama dengan 1/2) (membuat nol 2 baris di bawa 1 utama pada kolom pertama dengan rumus di atas) (selanjutnya membuat satu utama pada kolom dua baris dua) (membuat nol pada elemen di atas dan di bawah sat